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java 计算坐标点距离,平行线交点算法详解

Z同学
2023-04-02 / 0 评论 / 2 点赞 / 800 阅读 / 5,398 字
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本文最后更新于 2023-04-03,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

1. 前言

主要记录一些关于坐标和线段的计算方法。因为经常会碰见,需要在平面上,计算坐标点。

例如两个坐标点之间的距离,两个线段是否平行,两个不相交的线段的交点。

由于程序中的坐标原点,都是左上角开始的。所以很少涉及象限的问题。以下的一些算法,不会强调象限问题。

这里,主要介绍如何使用勾股定理计算坐标距离,斜率计算线段交点等。

2. 根据两个坐标点,计算距离

平面中,两点之间,直线最短。而在已知两个坐标点的x轴和y轴的情况下。我们可以通过勾股定理,来计算两个坐标点的距离。

因为,两个坐标点之间x轴的距离和y轴的距离可以看做三角形的两条直角边。斜边就是我们要计算的距离了。

而勾股定理为:a2+b2=C2

让我们带入到代码中来实现:

public double getPointDistance(Point point1, Point point2) {
        int a = point2.y - point1.y;
        int b = point2.x - point1.x;
        return Math.sqrt(a * a + b * b);
}

两个坐标point1point2 其实顺序无所谓

两个x轴坐标相减,得到的是在x轴上的距离。这个值可能为正,也可能为负。但无所谓,因为进行平方之后。只会是正数。

同理,Y轴也是一样的。所以我们计算时不用管哪个坐标点是前还是后。

Math.sqrt()是 java 提供的开平方工具。

我们得到的X轴的距离和Y轴的距离,都是相对于x轴和y轴垂直的。所以这两个距离组合的就是直角三角形的两条直角边。

两点的距离就是直角三角形的斜边了。也就是上面公式中的勾股定义直接计算即可。

有些小伙伴可能就会问了,如果这两个点的Y轴或者X轴的值是相同的。那么还可以这么计算么?

结论当然是可以了。

用上面的代码举例子,如果两个坐标点的Y轴相同。那么它们的距离实际上就是X轴的距离。

int a = point2.y - point1.y; //两个值相同,那么a的结果就是0
int b = point2.x - point1.x; // 那么距离就是 b的值。
// 带入进去0的平方也是0.那么就是b的平方进行开方运算。结果也就是b。(来源:zinyan.com)
Math.sqrt(0+b*b);

所以,如果两个坐标点的Y轴相同,或者X轴相同。那么最后计算的结果仍然是正确的。

但,我们可以添加一个判断,来减少这种情况下的多余的平方,开方计算。

所以,完整版代码如下所示:

public double getPointDistance(Point point1, Point point2) {
        int a = point2.y - point1.y;
        int b = point2.x - point1.x;
        if (a == 0)
            return b;
        if (b == 0)
            return a;
        return Math.sqrt(a * a + b * b);
}

但是,如果我们的x轴和y轴的坐标值是 double 或者 float 。就不能这么判断了。

因为浮点运算,本身就不精确。我们判断的时候,需要考虑到这个浮动范围。

我们也可以不用考虑这方面的优化。因为多一个平方开方,也耗费不了多少内存和时间。

3. 计算两个线段的交点

计算:在平面直角坐标系中点A和点B组成了线段A,点C和点D组成了线段B。 如果他们有交点。那么交点坐标是多少。

而在平面直角坐标系中,同一平面内两条直线只有相交和平行两种情况。这个定义数一个数学定理。

所以我们计算交点的时候,可以先处理一下两个线段是否平行的问题。

3.1 判断线段是否平行

那么,该如何判断两个线段是否平行呢?很简单比较两个线段的斜率是否相同即可。

斜率,计算的是一条直线相对横坐标轴的倾斜角度。所以它也叫做角系数

例如,这两个线段,都相较于X轴倾斜了30°,那么不就是证明了这两个线段是平行线了么。

而直线的斜率公式为:k=(y2-y1)/(x2-x1)。其中K值就是斜率结果了。

那么线段是否平行就可以写为:

public boolean getParallel(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) {
    int line1K = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x);
    int line2K = (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x);
    return  line1K==line2K
}

但是如果碰见了线段的x轴是相同的怎么办?也就是说线段垂直于X轴上。那么上面的方法就有问题了。

因为pointB.x - pointA.x =0了。

所以,我们需要进行变种:

//实际比较模式:
(pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x)==(pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x)
    
//改除法为乘法:
(pointB.y - pointA.y) * (pointD.x - pointC.x) == (pointD.y - pointC.y)  * (pointB.x - pointA.x)

这两个等式是相同的。

这样我们就可以判断两个线条是否平行了。完整代码如下:

public boolean getParallel(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) {
    return  (pointB.y - pointA.y) * (pointD.x - pointC.x) == (pointD.y - pointC.y)  * (pointB.x - pointA.x)
}

那么,方法中的坐标点,有前后要求么?答案是没有的。只需要知道这个直线上的任意两点就可以。

点斜式斜率公式:K=(y2-y1)/(x2-x1)也可以写为:K=(y1-y2)/(x1-x2) 这两个公式的结果是等值的。

公式中的K就是斜率值,而xy是坐标点X轴和Y轴的值。

将上面的公式进行简单的变换,我们可以得到:

  • y2=K(x2-x1)+y1
  • x2=(y2-y1)/K+x1

也就是说,x1,y1 是已知的坐标点。斜率K也知道的情况下。我们如果知道交点的X轴就可以计算出Y轴坐标。反之当我们知道Y轴坐标也可以计算出X轴坐标。

3.2 计算线段交点

在某种情况下,交点坐标的某个值是可以快速确定的。例如其中一条线段垂直X轴。或者平行于X轴。那么它们两个线段的交点的X轴或者Y轴就是已经明确了。

例如有坐标点:Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD。其中 pointA 和 pointB 组合成线段1,pointC 和pointD组合成线段2。

public  Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) {
   Point point =new Point();
   if (pointA.x - pointB.x == 0) {
        //线段1 两个坐标的x轴相等 说明是垂直x轴的情况,它们的交点x轴就是pointA的x轴
        point.x= pointA.x ; 
        //解释1:线段1垂直X轴,所以它的斜率值计算是0.无法计算,所以我们使用线段2的坐标计算斜率。
        //解释2:我在其他方法中判断过平行线的情况,所以如果线段1垂直,那么线段2肯定不会垂直。
        int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x);
         //解释3:代入公式:y2=K(x2-x1)+y1。 在已知x2,x1,y1,K的情况下求y2
         point.y= k*(point.x-pointC.x)+pointC.y;
    }else if (pointC.x - pointD.x == 0) {
      //线段2 垂直X轴的情况。它们的交点X轴就是线段2中的坐标的X轴
        point.x = pointC.x;
         //解释1:线段2垂直X轴,所以它的斜率值计算是0.无法计算,所以我们使用线段1的坐标计算斜率。
        int k = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x);
        //代入公式进行计算y轴坐标值
        point.y =  k * (point.x - pointA.x) + pointA.y;
    }
    return point;
}

可以得到垂直的,而平行于x轴的情况也可以参照上面的示例进行额外处理:

public  Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) {
    Point point =new Point();
    if (pointA.x - pointB.x == 0) {
        //线段1 两个坐标的x轴相等 说明是垂直x轴的情况,它们的交点x轴就是pointA的x轴
        point.x= pointA.x ; 
        //解释1:线段1垂直X轴,所以它的斜率值计算是0.无法计算,所以我们使用线段2的坐标计算斜率。
        //解释2:我在其他方法中判断过平行线的情况,所以如果线段1垂直,那么线段2肯定不会垂直。
        //因为是交点,所以交点坐标是满足线段2的斜率公式的。
        int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x);
         //解释3:代入公式:y2=K(x2-x1)+y1。 在已知x2,x1,y1,K的情况下求y2
         point.y= k*(point.x-pointC.x)+pointC.y;
    }else if (pointC.x - pointD.x == 0) {
      //线段2 垂直X轴的情况。它们的交点X轴就是线段2中的坐标的X轴
        point.x = pointC.x;
         //解释1:线段2垂直X轴,所以它的斜率值计算是0.无法计算,所以我们使用线段1的坐标计算斜率。
        int k = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x);
        //代入公式 进行计算y轴坐标值
        point.y =  k * (point.x - pointA.x) + pointA.y;
    }else if(pointA.y-pointB.y==0){
        //说明线段1,平行于X轴
         point.y= pointA.y; 
        //使用线段2,计算斜率K。因为线段1平行x轴是没有斜率的
        int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x);
        //代入公式: x2=(y2-y1)/K+x1   在已知y2,y1,K,x1的情况下求x2
         point.x = (point.y - line2start.y) / k + line2start.x;
    }else if(pointD.y-pointC.y==0){
        //说明线段2,平行于X轴
        point.y = pointD.y;
        int k = (pointB.y-pointA.y)/(pointB.x-pointA.x);
        //使用线段1,计算斜率K。因为线段2平行x轴是没有斜率的
        point.x =(point.y - line1start.y) / k + line1start.x;
    }

    return point;
}

通过上面的方法,应该给大家详细介绍了。线段平行或者垂直情况下。快速计算交点的运算逻辑。

但是,如果线段并不垂直或者平行于X轴或者Y轴。那么如何计算呢?在实际处理过程中,不垂直才是最多的场景。所以上面的方法还需要进行扩充。

仍然使用:Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD 这四个坐标点,计算未知的交点。

假如交点坐标是Point point。我们来一步步推导相关的方程组。

int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //线段1的斜率
int k2=  (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); //线段2的斜率

线段1的斜率和线段2的斜率肯定是不一样的。但是线段公式中斜率是一个常量。也就是说只要是直线上的任意两点,计算出来的斜率是固定的。我们再根据点斜式公式的变种:y2=K(x2-x1)+y1x2=(y2-y1)/K+x1。可以得到以下:

PS: x1 ,x2,y1,y2 只是表示的变量,不是数值*2哦。别弄混了。

int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //线段1的斜率
int k2= (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); //线段2的斜率

point.x =(point.y-pointB.y)/k1+porintB.x; // 根据线段1的点斜式公式可以得到的方程组
point.x =(point.y-pointD.y)/k2+porintD.x; // 根据线段2的点斜式公式可以得到的方程组
point.y = k1(point.x-pointA.x)+pointA.y; 
point.y = k2(point.x-pointC.x)+pointC.y;

在上面的计算过程中,x和y的两种算法得到的结果是相同的。我们先求x轴坐标的话,从y的两个等式进行计算。得到以下方程组:

k1(point.x-pointA.x)+pointA.y-(k2(point.x-pointC.x)+pointC.y)=0; //第一步
//第一步去除乘法括号
k1*point.x-k1*pointA.x+pointA.y-(k2*point.x-k2*pointC.x+pointC.y)=0;
//去除所有的括号
k1*point.x-k1*pointA.x+pointA.y-k2*point.x+k2*pointC.x-pointC.y=0;
//由于point.x 是未知数,其他的都是已知数。我们将未知数和已知进行等式的移动, 从左边移动到右边的时候,正负要互换
k1*point.x-k2*point.x=k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y;
//左边的等式可以继续简化
(k1-k2)*point.x = k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y;
//确保左边只有一个point.x 这个未知变量
point.x= (k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y)/(k1-k2);

通过上面的推导,当我们知道线段1的斜率,线段2的斜率。以及线段1的某个坐标点坐标。线段2的某个坐标点坐标。

我们就可以直接通过公式:(k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y)/(k1-k2)计算出交点的x轴坐标。

当我们知道x轴坐标。之后通过y2=K(x2-x1)+y1点斜式方程的变种。直接计算y轴的坐标:

point.x = (k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y)/(k1-k2);
point.y = k1(point.x-pointA.x)+pointA.y; //直接得到Y值的坐标

上面计算y轴坐标是使用的线段1的斜率进行计算的。所以x1和y1的值需要时线段1上的坐标点。

我们也可以使用线段2进行计算得到y轴值:

point.y = k2(point.x-pointC.x)+pointC.y; //直接得到Y值的坐标

到这里,我们就可以得到斜线的交点了。我们总结一下方法:

public  Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) {
    Point point =new Point();
    if (pointA.x - pointB.x == 0) {
        //线段1 两个坐标的x轴相等 说明是垂直x轴的情况,它们的交点x轴就是pointA的x轴
        point.x= pointA.x ; 
        //解释1:线段1垂直X轴,所以它的斜率值计算是0.无法计算,所以我们使用线段2的坐标计算斜率。
        //解释2:我在其他方法中判断过平行线的情况,所以如果线段1垂直,那么线段2肯定不会垂直。
        //因为是交点,所以交点坐标是满足线段2的斜率公式的。
        int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x);
         //解释3:代入公式:y2=K(x2-x1)+y1。 在已知x2,x1,y1,K的情况下求y2
         point.y= k*(point.x-pointC.x)+pointC.y;
    }else if (pointC.x - pointD.x == 0) {
      //线段2 垂直X轴的情况。它们的交点X轴就是线段2中的坐标的X轴
        point.x = pointC.x;
         //解释1:线段2垂直X轴,所以它的斜率值计算是0.无法计算,所以我们使用线段1的坐标计算斜率。
        int k = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x);
        //代入公式 进行计算y轴坐标值
        point.y =  k * (point.x - pointA.x) + pointA.y;
    }else if(pointA.y-pointB.y==0){
        //说明线段1,平行于X轴
         point.y= pointA.y; 
        //使用线段2,计算斜率K。因为线段1平行x轴是没有斜率的
        int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x);
        //代入公式: x2=(y2-y1)/K+x1   在已知y2,y1,K,x1的情况下求x2
         point.x = (point.y - line2start.y) / k + line2start.x;
    }else if(pointD.y-pointC.y==0){
        //说明线段2,平行于X轴
        point.y = pointD.y;
        int k = (pointB.y-pointA.y)/(pointB.x-pointA.x);
        //使用线段1,计算斜率K。因为线段2平行x轴是没有斜率的
        point.x =(point.y - line1start.y) / k + line1start.x;
    }else{
        int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //线段1的斜率
        int k2= (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); //线段2的斜率
        point.x = (k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y)/(k1-k2);
        point.y = k1(point.x-pointA.x)+pointA.y; //直接得到Y值的坐标
    }

    return point;
}

到这里,我们其实就可以获取交点了。而除此以外,我们还可以通过斜截式公式,来计算交点

3.3 斜截式计算交点

我们上面的推导过程使用的都是点斜式的公式进行的。其实我们还可以通过直线的斜截式方程:y=kx+b来进行推导直线的交点。相较于点斜式,个人认为斜截式可能会更容易理解吧。

在公式中,K表达的是斜率。斜率计算公式在上面有介绍。就不重复了

而y和x就是我们的坐标点的Y轴值和X轴值。b就是Y轴截距。

在平面直角坐标系中,直线的Y轴截距是相等的。也就是说不管是在直线的哪个点,代入到上面的公式中来得到的b值都是固定的。

public  Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) {
    Point point =new Point();
	/**  前面直角的方法省略了 主要是判断斜线的交点*/
    int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //得到线段1的 斜率K的值
    int b1 = pointA.y - pointA.x * k1; //得到线段1的 Y截距 b的值
    
    int k2 = (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); // 得到线段2的斜率K的值
    //斜截式公式:y=kx+b ,进行简单转换一下就是: b= y-kx
    int b2 = pointC.y - pointC.x * k2; //得到线段2的 Y截距b的值。 在这里我们可以使用pointC的值,也可以使用pointD的值
}

然后,由于交点需要满足线段1的斜截式,也需要满足线段2的斜截式公式,所以我们可以得到:

point.y = k1 * point.x + b1; // y=kx+b
point.y = k2 * point.x + b2; // y=kx+b
//根据上面的公式转换。
k1 * point.x + b1 = k2 * point.x + b2;  //这样整个表达式中就只有point.x 这一个变量了。
//根据数学表达式的规则,移动等号两边的数据。将未知数移动到左边
k1 * point.x - k2 * point.x = b2 - b1;// 移动过程中要注意加减法
//然后再提取乘法
(k1 - k2) * point.x = b2 - b1;//再进行表达式变换
point.x = (b2 - b1)/(k1 - k2); //也就是最终的结果值了

当我们知道x值之后。代入斜截式中可以快速得到y值:

point.y = k1 * point.x + b1; 

完整版本效果就是:

public  Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) {
    Point point =new Point();
	/**  前面直角的方法省略了 主要是判断斜线的交点*/
    int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //得到线段1的 斜率K的值
    int b1 = pointA.y - pointA.x * k1; //得到线段1的 Y截距 b的值
    
    int k2 = (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); // 得到线段2的斜率K的值
    //斜截式公式:y=kx+b ,进行简单转换一下就是: b= y-kx
    int b2 = pointC.y - pointC.x * k2; //得到线段2的 Y截距b的值。 在这里我们可以使用pointC的值,也可以使用pointD的值

	point.x = (b2 - b1)/(k1 - k2); 
    point.y = k1 * point.x + b1; 
}

有些公式可能写的结果是这样的:

//情况1
point.x = (b2 - b1)/(k1 - k2); 

//情况2
point.x = (b1 - b2)/(k2 - k1); 

这两个情况下,是等效的。在上面介绍了情况1的表达式是如何推导的。现在介绍一下如何推导出情况2:

point.y = k1 * point.x + b1; // y=kx+b
point.y = k2 * point.x + b2; // y=kx+b
//根据上面的公式转换。
k1 * point.x + b1 = k2 * point.x + b2;  //这样整个表达式中就只有point.x 这一个变量了。
//将未知数移动到右侧
b1-b2 = k2*point.x-k1*point.x;// 移动过程中要注意加减法

//然后再提取乘法
b1-b2 = (k2-k1)*point.x;//再进行表达式变换
point.x = (b1 - b2)/(k2 - k1); //也就是最终的结果值了

所以,这种表达式结果是一致的。

PS:在上面的代码中,我的变量是int型的。那是因为我自定义的类型参数。你如果是double也是没有关系的。单位格式不影响计算逻辑。只是最终结果值的精度有差异而已。

3. 小结

到这里,详细介绍了平面坐标系下的距离判断。线段平行和线段交点的计算。关于斜率的计算,稍微涉及了高中的知识。但是整体的计算过程也就初中水平了。

只是由于很长时间没有接触了。一些概念和公式都忘记完了。

所以,才会按照完全不懂的情况下。充分介绍一下这中间的运算过程。

后面可能会更新,如何计算角度。根据坐标点,计算运动方向等等吧。

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